解斜三角形在测量中的应用研究

解三角形的知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的，在数学发展历史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动，解三角形的理论得到不断发展，并被用于解决许多测量问题. 下面我们来看看解三角形应用于一些测量方案的设计与研究.

问题：试设计一种方案，测量一山顶上的电视塔的顶部与地面的距离.

方案：选点C、D两次测得仰角，，测出CD长度、BE长度

计算：（1）在△ACD中，利用正弦定理求出AD，

                   .

（2）在Rt△ADE中，求出AE，

                  .

（3）AE＋BE即为所求，

                   .

例题：如图，在某点处测得建筑物的顶端的仰角为，沿方向前进

【解】在中， ，， .

根据正弦定理， ,

                ,

              .

在中，（米）.

变式：如何测量山顶上的电视塔的高度呢？又如何测量河的宽度呢？

问题：如果你在海上直线航行，请设计一种测量海上两个小岛之间距离的方法.

方案：如图，A、B是已知的两个小岛，航船在时刻

计算：（1）从C到D的距离；

     （2）在中，由正弦定理求出BD；

     （3）在中，由正弦定理求出AD；

     （4）在中，由余弦定理求出AB.

例题：如图，在河对岸可以看到两个目标物，但不能到达。在河岸边选取相距40米的两点，并测得，

【解】在中，,，

， .

根据正弦定理， ,

,

.

在中，，，

根据正弦定理， ,,

              .

在中，根据余弦定理，，

∴ 两个目标物之间的距离米.

变式：如何测量不能到达的两个点之间的距离.

问题：飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔a，速度为v，如何在飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？

方案：飞机时刻在A处，测得山顶P俯角为；在时刻飞机飞到B处，测得山顶P俯角为.

计算：（1）从A到B的距离

（2）在中，利用正弦定理求出BP，

     .

（3）山顶海拔高度为.

例题：飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔米，速度为千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为，经过秒后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度。

【解】 .

根据正弦定理， ，

解得 .

山顶的海拔高度为

（米）.

变式：一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15 的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25 的方向上,仰角为8 ,求此山的高度CD. （答案：约1047米）

问题：设计一种借助于两个观察点C、D（已知两个观察点之间的距离d）测量航船的速度的方案.

方案：船在时刻