《椭圆的简单几何性质》一课的案例反思

    教学片断一： 
    教师：20xx年10月15日是每一个中国人为之骄傲的日子，大家还记得这一天吗？ 
    学生：神州五号飞船发射成功。 
    教师：对，神州五号载人飞船顺利发射升空，实现了几代中国人遨游太空的梦想。通过前面的学习我们知道，飞船在变轨前是沿着以地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行的，如果告诉你飞船的轨道方程，你怎样作出飞船的轨迹呢？这个问题的实质是什么？ 
    学生：已知一个椭圆的方程，画出这个椭圆。 
    教师：让学生拿出预习中用描点法画出 所示的图形，同时计算机给出作图过程，纠正学生作图中存在的问题后给出：这种作图方法虽然比较准确，但同学们通过作图体会到了什么？ 
    学生：麻烦。 
    教师：有简单的方法吗？如果有，需要知道什么呢？ 
    学生：研究曲线的特点。 
    教师：对，如果我们能根据椭圆的方程，探讨出它的几何特征，那么作图就很方便了。这节课我们就一起来学习椭圆的简单几何性质（引出课题） 
    教学片断二： 
    教师：（大屏幕展示 所表示的图形）请同学们观察这个图形在x轴的上方、下方，y轴的左侧、右侧有怎样的关系呢？（此处是空白点，激发学生思考） 
    学生1：有对称性，关于x轴、y轴、原点都对称。 
    教师：正确。那么一般的椭圆 是否也具有这种对称性，你能根据方程得到结论吗？ 
    学生：（充分讨论后）也有同样的对称性。在 上任取一点P（x,y）则P点关于x轴、y轴和坐标原点的对称点分别是（x,-y）（-x，y）、（-x，-y），而代入方程知这三个对称点都适合方程，即点P关于x轴、y轴和坐标原点的对称点仍然在椭圆上，可得结论。 
    教师：回答得非常正确。 
    课件展示对称过程后总结： 所表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，坐标原点是其对称中心，对称中心也叫椭圆的中心，椭圆是有心曲线。 
    教学片断三： 
    教师：（大屏幕展示 所表示的图形）请同学们继续观察这个椭圆与坐标轴有几个交点呢？ 
    学生：与坐标轴有四个交点。 
    教师：对，一般的椭圆 与坐标轴有几个交点呢？ 
    学生：同样是四个。 
    教师：你能根据方程求得四个交点的坐标吗？（计算机给出图形，椭圆与x抽的交点分别是 、 ，与y轴的交点分别是 、 ） 
    学生2：分别令x=0,y=0，得 （-a,0）、 （a,0）、 （0,-b） （0,b）. 
    教师：回答得很好。这四个点是椭圆与坐标轴的交点，也是椭圆与其对称点的交点。及时总结并给出顶点的定义（强调是与对称轴的交点）。结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长半轴长、短半轴长，点明方程中a、b的几何意义。 
教师：（根据课件中的图）如果过 、 、分别作y轴的平行线，过 、 分别做x 轴的平行线，则这四条直线将构成什么图形？ 
    学生：一个矩形。 
    教师：椭圆与矩形矩形的位置关系怎样？ 
    学生：椭圆在矩形的内部 
    教师：正确，这说明了什么？ 
    学生：有的说有界，有的说有范围。 
    教师：指出椭圆是有范围的，根据前面求得的 、 、 、 的坐标，你能说出x、y的范围吗？ 
    学生3：-a≤x≤a，-b≤y≤b. 
    教师：完全正确。那么你根据方程 研究x、y的取值范围吗？请同学们想一想，并互相讨论讨论。（此处既是空白点、又是创新点，学生能够动脑思考，动手实践，亲身体验，积极地投入到“创新性研究”中，把数学的重点放在了学生的学习过程，而不是获得一个简单的结果）引导学生用多种方法探究，汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。 
    学生4：由 利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得 ≤ 且 ≤ ，则有-a≤x≤a，-b≤y≤b. 
    教师：很好，谁还有不同意见？ 
    学生5：利用三角换元，令 θ， θ，θ∈ R。由弦函数有界可得范围。 
    教师：这个想法也不错，谁还有不同见解？ 
    学生6：从 中解出 ，利用 ≥0可得y的取值范围，同样可得x的取值范围。 
    教师：这种想法也不错，谁还有不同见解？ 
    此时学生陷入深思中，教师及时点拨，前面我们学习过函数的定义域、值域，这对你研究椭圆的范围有何启示呢？ 
    学生议论纷纷，有的开始动笔推导，有的几个人一起在商量。 
    教师：谁研究出来了，或哪个小组研究出来了？请到前面给大家讲一讲。 
    学生7：（实物展台展示）由 则y=± ，可通过求这个函数的定义域、值域得范围。 
    教师：y=± 是函数吗？ 
    学生：（思考后）说不是。 
    教师：怎么处理呢？ 
    学生8：把y= 和 y=- 分别看作是一个函数。 
    教师：正确。往下怎么研究呢？ 
    学生9：先求函数y= 的定义域、值域。利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法，可得 -a≤x≤a，0≤y≤b，同样得y= 中-a≤x≤a，-b≤y≤0，于是得到范围。（课堂响起一片掌声，表示对这位同学的支持、肯定与鼓励） 
    教师：前面我们研究了椭圆的对称性，谁能简化学生9的推导过程呢？ 
    学生10：老师，我想只需求y= （0≤x≤a）的定义域、值域即可，然后利用对称性可得范围。 
    教师：很好。 
    教师：通过前面的探讨，我们知道椭圆是有范围的，即它围在一个矩形框内。有了前面这几个性质，我们就可以很快地作出焦点在x轴上的椭圆的草图了教师在黑板上示范作图（先找到标准方程所表示的椭圆与坐标轴的四个交点，画出矩形框，再画出草图，并注意对称性。） 
案例反思： 
    “兴趣是最好的老师”。为了激发学生的学习兴趣，我设计了教学片断一，通过“神州五号“这样一个人们关注的话题引入，将学生融入教学中。再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，设计了教学片断二，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一特点开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动学习参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。在研究范围这一性质时，设计了教学片断三，设计前的要求是只要学生能根据不等式知识得出性质就可以了，但学生在教师的引导下，通过观察、发现、合作、创新过程，得出了多种研究的结果。从而达到了学生主动构建知识和理解知识的目的。不足之处是在对具体例子 的观察分析中设计的问题过于具体，束缚了学生的思维，这是我今生教学中有待改正的地方。 

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