《椭圆定义及其标准方程》教学案例

一、背景介绍

    解读大纲，结合新一轮课程改革的精神，我们不难发现数学教学“不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索，动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，使学生的学习过程成为教师引导下的‘再创造’过程，要设立‘数学探索’教学建模等学习活动，让学生体验数学发现和创造的历程。”

    “椭圆定义及其标准方程”是人教版高中数学第二册（上）第八章《圆锥曲线方程》的第一节课，以下是我对这节课的一个片段“椭圆定义”教学过程及其反思。

二、教学过程

1、创设情景，引出课题——8.1椭圆定义及其标准方程。

教师：我们以前学习过圆，请同学们回忆一下圆的定义。

学生1：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。

教师：我们是怎么画圆的呢？（课前要求学生每人准备一块硬纸板，两颗图钉及一根定长绳子）谁上黑板来演示呢？

学生2：（上黑板来演示）

教师：“圆是动点P到定点O的距离为常数的点的轨迹”说成“圆是动点P到定点O的来回距离之和为常数的点的轨迹”，行吗？

学生：（齐声地）行。

教师：现在把这根绳子的两端分别系在两颗图钉上，并分开固定在两个点F1、F2上，并保持拉紧状态移动铅笔，请你们再画一画会是什么样的曲线？

学生：（动手画椭圆）

教师：（演示几位学生所画的椭圆）

我们看到这个曲线的形状正是一个压扁了的圆，我们称为椭圆。

（黑板上写出课题：椭圆定义及其标准方程）

大家看，椭圆是一个很美的图形，生活中你在哪里见过椭圆的这种曲线，能否举例呢？

学生：地球运动轨迹，……等等。

2、通过实验，自主探究，椭圆的定义以及椭圆的扁圆与焦距定线段长之间的关系。

教师：刚才大家对椭圆有了形象上的认识，我们不仅作出了椭圆这个曲线，而且还在生活实践中找到它的应用，下面我们能否给出它的定义呢？

学生3：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹。

（教师在黑板上写出学生总结的椭圆定义）

教师：很好。

（教师拿起两个学生所画的椭圆展示）

同学们画椭圆时，线段是一样长的，为什么我们所画出的椭圆不一样，有扁有圆呢？

学生4：这与两定点F1、F2的位置有关。

教师：很好。

我们改变一下F1、F2的位置，大家画一画椭圆，看一看到底有何关系？

学生5：F1、F2位置越近椭圆愈圆，F1、F2位置越远椭圆愈扁。

教师：这位同学总结得很好。

如果我们不改变F1、F2位置，只改变线段长，大家画一画，它们又有何关系？

学生6：定线段的长直小椭圆愈扁，定线段的长越长椭圆愈圆。

教师：这位同学总结很好。

设|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，如何通过a，c刻划椭圆的扁圆程度。

学生7：当c/a越小时，椭圆愈圆；当c/a越大时，椭圆越扁。

教师：以上我们讨论了椭圆的定义，知道了椭圆与两定点位置以及定线段长有关，给定了线段长，两定点位置就一定能作出椭圆吗？大家讨论一下，这里有没有条件限制。

学生：（动手实验，讨论、总结）

教师：（在黑板演示，2a＞2c，2a=2c，2a＜2c三种不同情形的轨迹。）

根据我们动手实验及老师的演示以及讨论，同学们总结出什么结论呢？

学生8：（1）当2a＞2c时，轨迹是椭圆。

（2）当2a=2c时，轨迹是一条线段，是以F1、F2为端点的线段。

（3）当2a＜2c时，无轨迹。

（4）当c=0时，轨迹为圆。

教师：下面请同学们再看看椭圆的定义，有无补充。

学生9：椭圆是平面上到两定点F1、F2的距离之和为常数2a的动点的轨迹，其中2a＞| F1F2|＞0。

教师：（黑板上用彩色粉笔写上：其中2a＞| F1F2|＞0）

补充得很好。

这里我们F1、F2叫做椭圆的焦点，F1、F2的距离叫做焦距，记作| F1F2|=2C。

三、教学反思

1、本节课，学生在教师和同伴的帮助下，亲身经历了“问题——探索——发现——解决问题”的多次循环的探究过程，实现“为什么”、“怎么办”的思维启迪，从而达到开发智力、发展能力的目的。所以，在我们的日常教学中，不仅要培养学生解决问题的能力，更要注意培养学生发现问题和提出问题的能力。

2、本节课通过学生动手实验，引导学生通过自己的积极思维去发现椭圆定义的本质，探索图形变化规律，从而掌握椭圆的概念、椭圆的扁圆与焦距、定线段长之间关系，至始至终充分发挥学生的主体地位，课堂气氛活跃，有利于培养学生独立思考能力。