任意角的三角函数
教学目标：
1．通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值．
2．掌握已知角 终边上一点坐标，求四个三角函数值．（即给角求值问题）
教学重点：
任意角的三角函数的定义．
教学难点：
任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示．
教学用具：
直尺、圆规、投影仪．
教学步骤：
1．设置情境
角的范围已经推广，那么对任一角 是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？本节课就来讨论这一问题．
2．探索研究
（1）复习回忆锐角三角函数
我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角 为自变量，以比值为函数值，定义了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角 是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示．
（2）任意角的三角函数定义
如图1，设 是任意角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，当角 在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为 ，则 ．
定义：①比值 叫做 的正弦，记作 ，即
②比值 叫做 的余弦，记作 ，即 ．
图1
③比值 叫做 的正切，记作 ，即 ．
同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件
提问：对于确定的角 ，这三个比值的大小和 点在角 的终边上的位置是否有关呢？
利用三角形相似的知识，可以得出对于角 ，这三个比值的大小与 点在角 的终边上的位置无关，只与角 的大小有关．
请同学们观察当 时，
④比值 叫做 的余切，记作 ，则 ．
⑤比值 叫做 的正割，记作 ，则 ．
⑥比值 叫做 的余割，记作 ，则 ．
可以看出：当 时，
（3）三角函数是以实数为自变量的函数
对于确定的角 ，如图2所示， ， ， 分别对应的比值各是一个确定的实数，因此，正弦，余弦，正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数．
即：实数→角（其弧度数等于这个实数）→三角函数值（实数）
（4）三角函数的一种几何表示
利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线，如下图3．
图3
设任意角 的顶点在原点 ，始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 ，过 作 轴的垂线，垂足为 ；过点 作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与角 的终边（当 为第一、四象限时）或其反向延长线（当 为第二、三象限时）相交于 ，当角 的终边不在坐标轴上时，我们把 ， 都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：
这几条与单位圆有关的有向线段
（5）例题讲评
【例1】已知角 的终边经过 ，求 的六个三角函数值（如图4）．
解：∵
∴
2．（1）－2；（2）8；（3）－1；（4）
3．（1）0；（2） ；（3） ；（4）
tag: 暂无联系方式高一数学教案，高一数学教案模板,高中数学教案模板，免费教案 - 数学教案 - 高一数学教案