下学期 4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质2

4.8  正弦函数、余弦函数的图像和性质（第二课时）

（一）教学具准备

　　直尺，投影仪．

（二）教学目标

　　1．掌握 ， 的定义域、值域、最值、单调区间．

　　2．会求含有 、 的三角式的定义域．

（三）教学过程

　　1．设置情境

　　研究函数就是要讨论一些性质， ， 是函数，我们当然也要探讨它的一些属性．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质．

　　2．探索研究

　　师：同学们回想一下，研究一个函数常要研究它的哪些性质？

　　生：定义域、值域，单调性、奇偶性、等等．

　　师：很好，今天我们就来探索 ， 两条最基本的性质——定义域、值域．（板书课题正、余弦函数的定义域、值域．）

　　师：请同学看投影，大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像．

　　师：请同学思考以下几个问题：

　　（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？

　　（2）正弦、余弦函数的值域是什么？

　　（3）他们最值情况如何？

　　（4）他们的正负值区间如何分？

　　（5） 的解集如何？

　　师生一起归纳得出：

　　（1）正弦函数、余弦函数的定义域都是 ．

　　（2）正弦函数、余弦函数的值域都是 即 ， ，称为正弦函数、余弦函数的有界性．

　　（3）取最大值、最小值情况：

　　正弦函数 ，当

　　余弦函数 ，当 ，（ ）时，函数值 取最大值1，当 ，（ ）时，函数值 取最小值－1．

　　（4）正负值区间：

　　　　　　　　　　　 （ ）

　　（5）零点： （ ）

　　3．例题分析

　　【例1】求下列函数的定义域、值域：

　　（1） ；　（2） ；　（3） ．

　　解：（1） ，

　　（2）由 （ ）

　　又∵ ，∴

　　∴定义域为 （ ），值域为 ．

　　（3）由 （ ），又由

　　∴

　　∴定义域为 （ ），值域为

　　指出：求值域应注意用到 或 有界性的条件．

　　【例2】求下列函数的最大值，并求出最大值时 的集合：

　　（1） ， ；　（2） ， ；

　　（3） 　　（4） ．

　　解：（1）当 ，即 （ ）时， 取得最大值

　　∴函数的最大值为2，取最大值时 的集合为 ．

　　（2）当 时，即 （ ）时，

　　∴函数的最大值为1，取最大值时 的集合为 ．

　　（3）若 ， ，此时函数为常数函数．

　　若 时， ∴ 时，即 （ ）时，函数取最大值 ，

　　∴ 时函数的最大值为 ，取最大值时 的集合为 ．

　　（4）若 ，则当 时，函数取得最大值 ．

　　若 ，则

　　若 ，当 时，函数取得最大值 ．

　　∴当 时，函数取得最大值 ，取得最大值时 的集合为 ；当 时，函数取得最大值 ，取得最大值时 的集合为 ，当 时，函数无最大值．

　　指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对 或 的系数进行讨论．

　　思考：此例若改为求最小值，结果如何？

　　【例3】要使下列各式有意义应满足什么条件？

　　（1） ；　　（2） ．

　　解：（1）由 ，

　　∴当 时，式子有意义．

5．总结提炼

　　（1） ， 的定义域均为 ．

　　（2） 、 的值域都是

　　（3）有界性：  

　　（4）最大值或最小值都存在，且取得极值的 集合为无限集．

　　（5）正负敬意及零点，从图上一目了然．

　　（6）单调区间也可以从图上看出．

（五）板书设计

1．定义域

2．值域

3．最值

4．正负区间

5．零点

例1

例2

例3

课堂练习

　　课后思考题：求函数 的最大值和最小值及取最值时的 集合

　　提示：