下学期 5.6平面向量的数量积及运算律2

（第二课时）

一、教学目标

　　1．掌握平面向量的数量积的运算律，并能运用运算律解决有关问题；

　　2．掌握向量垂直的充要条件，根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直；由两个向量垂直确定参数的值；

　　3．了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

　　4．通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；

　　5．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质及运算律的应用，培养学生的应用意识．

二、教学重点  平面向量的数量积运算律，向量垂直的条件；

　　教学难点  平面向量的数量积的运算律，以及平面向量的数量积的应用.

三、教学具准备

　　投影仪

四、教学过程

　　1．设置情境

　　上节课，我们已经给出了数量积的定义，指出了它的（5）条属性，本节课将研究数量积作为一种运算，它还满足哪些运算律？

　　2．探索研究

　　（1）师：什么叫做两个向量的数量积？

　　生： （ 与 向量的数量积等式 的模 与 在 的方向上的投影 的乘积）

　　师：向量的数量积有哪些性质？

　　生：（1）

　　　　（2）

　　　　（3）

　　　　（4）

　　　　（5）

　　　　（6）

　　师：向量的数量积满足哪些运算律？

　　生（由学生验证得出）

　　交换律：

　　分配律：

　　师：这个式子 成立吗？（由学生自己验证）

　　生： ，因为 表示一个与 共线的向量，而 表示一个与 共线的向量，而 与 一般并不共线，所以，向量的内积不存在结合律。

　　（2）例题分析

　　【例1】求证：

　　（1）

　　（2）

　　分析：本例与多项式乘法形式完全一样。

　　证：         

　　注： （其中 、 为向量）

　　答：一般不成立。

　　【例2】已知 ， ， 与 的夹角为 ，求 .

　　解：∵

　　注：与多项式求值一样，先化简，再代入求值.

　　【例3】已知 ， 且 与 不共线，当且仅当

　　分析：师：两个向量垂直的充要条件是什么？

　　生：

　　解： 与 互相垂直的充要条件是

　　即

　　∵   

　　∴

　　∴ 

　　∴  当且仅当 时， 与 互相垂直．

　　3．演练反馈（投影）

　　（1）已知 ， 为非零向量， 与 互相垂直， 与

　　（2） ， 为非零向量，当 的模取最小值时，

　　①求 的值；

　　②求证： 与 垂直．

　　（3）证明：直径所对的圆周角为直角．

参考答案：

　　（1）

　　（2）解答：①由

　　当 时 最小；

　　②∵

　　∴ 与 垂直.

　　（3）如图所示，设 ， ， （其中

　　则

　　∵  ，

　　∴   即  圆周角

　　4．总结提炼

　　（l）

　　（2）向量运算不能照搬实数运算律，如结合律数量积运算就不成立．

　　（3）要学会把几何元素向量化，这是用向量法证几何问题的先决条件．

　　（4）对向量式不能随便约分，因为没有这条运算律．

五、板书设计

课题：

1．数量积性质

2．数量积运算律

例题

1

2

3

演练反馈

总结提炼